Bất đẳng thức Bernoulli là một trong những bất đẳng thức cần nhớ, gắn liền với nhiều dạng bài tập trong chương trình toán học, thường là các dạng bài nâng cao. Trong bài viết dưới đây, HangDangThuc đã tổng hợp được và chia sẻ đến các bạn những kiến thức toàn diện, chi tiết về bất đẳng thức Bernoulli, cách chứng minh và một số bài tập vận dụng bất đẳng thức này.
Contents
Bất đẳng thức Bernoulli là gì?
Bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x trong toán học.
Bất đẳng thức Bernoulli được phát biểu như sau:
\((1 + x)^r\) \(\geq\) 1 + rx
Với mọi số nguyên r \(\geq\) 0 và với mọi số thực x > -1. Nếu số mũ r là chẵn thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này sẽ trở thành như sau:
\((1 + x)^r\) > 1 + rx với mọi số nguyên r \(\geq\) 2 và mọi số thực x \(\geq\) -1, x ≠ 0
Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác. Bản thân bất đẳng thức này có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Chứng minh bất đẳng thức Bernoulli
Khi r = 0 bất đẳng thức trở thành: \((1 + x)^0\) \(\geq\) 1 + 0x
⇔ 1 \(\geq\) 1 (luôn đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với r = k ta có:
\((1 + x)^k\) \(\geq\) 1 + kx
Ta cần chứng minh: \((1 + x)^{k + 1}\) \(\geq\) 1 + (k + 1)x
Thật vậy, \((1 + x)^{k + 1}\) = (1 + x)\((1 + x)^k\) \(\geq\) (1 + x)(1 + kx) (Vì theo giả thiết (1 + x) \(\geq\) 0)
⇔ (1 + x)\((1 + x)^k\) \(\geq\) 1 + kx + x + k\(x^2\)
⇔ (1 + x)\((1 + x)^k\) \(\geq\) 1 + (k + 1)x + k\(x^2\) \(\geq\) 1 + (k + 1)x (vì k\(x^2\) \(\geq\) 0)
=> Bất đẳng thức này đúng với r = k + 1
Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta có thể suy ra bất đẳng thức đúng với mọi r \(\geq\) 0
Số mũ r có thể tổng quát hóa thành số thực bất kì như sau:
Nếu x > -1 thì ta có: \((1 + x)^r\) \(\geq\) 1 + rx với r \(\geq\) 1 hoặc r \(\leq\) 0 và \((1 + x)^r\) \(\leq\) 1 + rx với 0 \(\leq\) r \(\leq\) 1
Nếu x \(\geq\) -1 và r là số nguyên, r \(\geq\) 2 thì bất đẳng thức này trở thành:
\((1 + x)^r\) > 1 + rx
Bất đẳng thức liên quan
Bất đẳng thức sau đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác. Với số thực x bất kì và r > 0 chúng ta có:
\((1 + x)^r\) < \(e^{rx}\) với e = 2.718…
Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: \((b + c)^a\) + \((c + a)^b\) + \((a + b)^c\) > 2 (*)
Hướng dẫn cách giải:
Nếu trong 3 số a, b, c có một số lớn hơn hoặc bằng 1 thì bất đẳng thức (*) luôn đúng.
Nếu 0 < a, b, c < 1 ta áp dụng bất đẳng thức Bernoulli được:
\(̣(\frac{1}{b + c})^a\) = \(̣(1 + \frac{1 – (b + c)}{b + c})^a\) < 1 + \(̣\frac{a[1 – (b + c)]}{b + c}\) < \(̣\frac{a + b + c}{b + c}\)
=> \(̣(b + c)^a\)̣ > \(̣\frac{b + c}{a + b + c}\) (1)
Chứng minh tương tự:
\(̣(c + a)^b\)̣ > \(̣\frac{a + c}{a + b + c}\) (2)
\(̣(a + b)^c\)̣ > \(̣\frac{a + b}{a + b + c}\) (3)
Cộng (1), (2) và (3) ta được: \((b + c)^a\) + \((c + a)^b\) + \((a + b)^c\) > 2 (đpcm)
Bài tập 2: Cho n ∈ Z, n \(\geq\) 3. Chứng minh: \(\sqrt[n – 1]{n}\) > \(\sqrt[n]{n + 1}\)
Hướng dẫn cách giải:
Ta có: \(\sqrt[n – 1]{n}\) > \(\sqrt[n]{n + 1}\)
⇔ \(n^n\) > \((n + 1)^{n + 1}\)
⇔ \(̣(\frac{n}{n + 1})^n\) > \(̣\frac{1}{n + 1}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli: \(̣(\frac{n}{n + 1})^n\) = \(̣(1- \frac{1}{n + 1})^n\) > 1 – \(̣\frac{n}{n + 1}\) = \(̣\frac{1}{n + 1}\)
=> đpcm
Qua bài viết này chúng mình đã giúp bạn hiểu được về bất đẳng thức Bernoulli. Bên cạnh đó chúng mình cũng cung cấp thêm cách chứng minh bất đẳng thức Bernoulli và một số bài tập vận dụng giúp bạn củng cố và nâng cao kiến thức. Hy vọng bài viết này sẽ thực sự hữu ích đối với bạn. Khám phá thêm nhiều kiến thức toán học thú vị khác tại website Hangdangthuc.edu.vn nhé!
